バーチ・マーナハン状態方程式

ハーバード大学のアルバート・フランシス・バーチ^[1]が1947年に発表したバーチ・マーナガン等温状態方程式は、物体の体積とそれが受ける圧力の関係を示すものである。バーチは、ジョンズ・ホプキンス大学のフランシス・ドミニク・マーナガンが1944年に発表した研究^[2]に基づいてこの方程式を提唱したため、この方程式は両科学者に敬意を表して命名されている。

3 次バーチ・マーナハン等温状態方程式は次のように表されます。 ここで、Pは圧力、V ₀は基準体積、Vは変形体積、B ₀は体積弾性率、B ₀ ' は圧力に関する体積弾性率の微分です。体積弾性率とその微分は通常、実験データへのフィッティングから得られ、次のように定義されます 。 および 状態方程式の式は、ヘルムホルツ自由エネルギーを有限ひずみパラメータfのべき乗で展開することによって得られます。f は、 次のように定義されます 。 ^{[3] : 68–69}これは、 f について式を書くとより明らかです。有限ひずみで 3 次まで展開すると、この式は次のように表されます。[ ^{3] : 72} 。$${\displaystyle P(V)={\frac {3B_{0}}{2}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{7/3}-\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{5/3}\right]\left\{1+{\frac {3}{4}}\left(B_{0}^{\prime }-4\right)\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{2/3}-1\right]\right\}}.}$$$${\displaystyle B_{0}=-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{P=0}}$$$${\displaystyle B_{0}'=\left({\frac {\partial B}{\partial P}}\right)_{P=0}}$$$${\displaystyle f={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{2/3}-1\right]\,,}$$ $${\displaystyle P(f)=3B_{0}f(1+2f)^{5/2}(1+af+{\mathit {高次の項}})\,,}$$${\displaystyle a={\frac {3}{2}}(B_{0}'-4)}$

内部エネルギーE ( V )は圧力の積分によって求められます。 $${\displaystyle E(V)=E_{0}+{\frac {9V_{0}B_{0}}{16}}\left\{\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{2/3}-1\right]^{3}B_{0}^{\prime }+\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{2/3}-1\right]^{2}\left[6-4\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{2/3}\right]\right\}.}$$

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