バスカラの補題

バースカラの補題は、チャクラヴァラ法において補題として用いられる恒等式である。それは次のように述べている。

${\displaystyle \,Nx^{2}+k=y^{2}\implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}}$

整数の場合${\displaystyle m,\,x,\,y,\,N,}$およびゼロ以外の整数${\displaystyle k}$。

証明は、以下の簡単な代数操作から得られます。等式の両辺にを掛けます。${\displaystyle m^{2}-N}$、 追加${\displaystyle N^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}}$、因数分解し、で割る$\displaystyle k^{2}}$。

${\displaystyle \,Nx^{2}+k=y^{2}\implies Nm^{2}x^{2}-N^{2}x^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}-Ny^{2}}$

${\displaystyle \implies Nm^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}+2Nmxy+N^{2}x^{2}}$

${\displaystyle \implies N(mx+y)^{2}+k(m^{2}-N)=(my+Nx)^{2}}$

${\displaystyle \implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}.}$

どちらも${\displaystyle k}$または${\displaystyle m^{2}-N}$がゼロの場合、この含意は双方向に成り立つ。（この補題は、整数だけでなく実数や複素数にも当てはまる。）

• CO Selenius、「Jayadeva と Bhaskara II のチャクラヴァラ プロセスの理論的根拠」、Historia Mathematica、2 (1975)、167-184。
• CO Selenius、Kettenbruch theoretische Erklarung der zyklischen Methode zur Losung der Bhaskara-Pell-Gleichung、Acta Acad。阿保。数学。物理学。 23 (10) (1963)。
• ジョージ・ゲヴェルギーズ・ジョセフ著『孔雀の冠：数学の非ヨーロッパ的ルーツ』（1975年）。

• チャクラヴァラの紹介