ベンディクソンの不等式

数学において、ベンディクソンの不等式は、 1902年にアイヴァー・ベンディクソンによって導かれた行列の分野における定量的な結果である。 ^{[1] [2]この不等式は、実行列の}特性根（固有値）の虚部と実部に限界を課す。^[3]この不等式の特殊なケースでは、実対称行列の特性根は常に実数になるという結果になる。

実数行列の特性根の虚数部に関する不等式（^[1]の定理I ）は次のように述べられる。

を実行列、 とする。を の任意の特性根とすると、 ${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \alpha =\max _{1\leq i,j\leq n}{\frac {1}{2}}\left|a_{ij}-a_{ji}\right|}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Im} (\lambda )\right|\leq \alpha {\sqrt {\frac {n(n-1)}{2}}}.\,{}}$^[4]

が対称である場合、そしてその結果として不等式は が実数でなければならないことを意味します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \lambda}$

実数行列の特性根の実部に関する不等式（^[1]の定理II ）は次のように表現される。

とを の最小と最大の特性根とすると、 ${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tfrac {A+A^{H}}{2}}}$

${\displaystyle m\leq \operatorname {Re} (\lambda )\leq M}$。

• ゲルシュゴリン円定理