アグニューの定理

アメリカの数学者ラルフ・パーマー・アグニューによって提唱されたアグニューの定理は、すべての級数に対して収束を保つ無限級数の項の並べ替えを特徴づける。^[1]

1 で始まる任意の区間がpによって最大K 個の区間の和集合にマッピングされるような順列が存在する場合、その順列を アグニュー順列[ ^a]と呼びます。つまり、 は区間の数です。 ${\displaystyle p:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$${\displaystyle K\in \mathbb {N} }$${\textstyle \exists K\in \mathbb {N} \,:\;\forall n\in \mathbb {N} \;\;\#_{[\,]}(p([1,\,n]))\leq K\,}$${\displaystyle \#_{[\,]}}$

アグニューの定理は、  すべての収束する実数または複素数項の級数に対するアグニュー順列であり、級数は同じ和に収束する。^[2]${\displaystyle p}$${\displaystyle \iff }$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{p(i)}}$

系 1.   ( の逆) は、すべての発散する実数または複素数項の級数 に対してアグニュー順列であるが、級数は発散する。^[b]${\displaystyle p^{-1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \implies }$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{p(i)}}$

系2.  と はすべての実数または複素数項の級数 に対するアグニュー順列であり、級数の収束型は同じである。^{[c] [b]}${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{-1}}$${\displaystyle \implies }$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{p(i)}}$

アグニューの定理は、 の収束がすでに確立されている場合に役立ちます。つまり、任意のアグニュー順列を使用して、同じ合計への収束を維持しながら項を並べ替えることができます。 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$

系 2 は、 の収束タイプが不明な場合に役立ちます。 の収束タイプは、元の級数の収束タイプと同じです。 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{p(i)}}$

重要な順列のクラスは、各構成順列がそれに対応する区間（）にのみ作用する順列の無限合成です。については なので、 が増加するときのの挙動のみを検討する必要があります。 ${\displaystyle p=\cdots \circ p_{k}\circ \cdots \circ p_{1}}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle [g_{k}+1,\,g_{k+1}]}$${\displaystyle g_{1}=0}$${\displaystyle p([1,\,n])=[1,\,g_{k}]\cup p_{k}([g_{k}+1,\,n])}$${\displaystyle g_{k}+1\leq n<g_{k+1}}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle n}$

連続する項のすべてのグループのサイズが定数で制限される場合、つまり、であり、その逆はアグニュー順列（）であり、つまり、収束型を保存したままグループ内で任意の並べ替えを適用できます。 ${\displaystyle g_{k+1}-g_{k}\leq L\,}$${\displaystyle p}$${\textstyle K=\left\lfloor {\frac {L}{2}}\right\rfloor }$

連続する項のグループのサイズが無制限に大きくなる場合、 の挙動を調べる必要があります。 ${\displaystyle p_{k}}$

ミラーリング置換と円シフト置換、およびそれらの逆置換は、主区間 に最大 1 つの区間を追加します。したがって、とその逆置換はアグニュー置換 ( ) です。つまり、ミラーリングと円シフトは、収束タイプが保存された状態でグループ内に適用できます。 ${\displaystyle [1,\,g_{k}]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K=2}$

B  > 1 ブロックのブロック並べ替え順列^[d]とその逆順列は、最大で区間 （が大きい場合）を主区間 に追加します。したがって、 とその逆順列は Agnew 順列です。つまり、ブロック並べ替えは、収束型を保存したままグループ内で適用できます。 ${\textstyle \left\lceil {\frac {B}{2}}\right\rceil }$${\textstyle g_{k+1}-g_{k}}$${\displaystyle [1,\,g_{k}]}$${\displaystyle p}$

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  その区間の要素を鏡映する順列${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle [g_{k}+1,\,g_{k+1}]}$
• 
  2だけ右に循環的にシフトする順列は、その区間の要素を次の位置に配置します。${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle [g_{k}+1,\,g_{k+1}]}$
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  区間内の要素を3つのブロックとして並べ替える順列${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle [g_{k}+1,\,g_{k+1}]}$