アベルの不等式

数学において、ニールス・ヘンリク・アーベルにちなんで名付けられたアーベルの不等式は、重要な特殊なケースにおける 2 つのベクトルの 内積の絶対値に単純な上限を与えます。

{ a ₁ , a ₂ ,... }を非増加または非減少の実数列とし、{ b ₁ , b ₂ ,... } を実数または複素数列とする。{ a _n } が非減少の場合、次の式が成り立つ。

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \operatorname {max} _{k=1,\dots ,n}|B_{k}|(|a_{n}|+a_{n}-a_{1}),}$

そして{ a _n }が非増加であれば、

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \operatorname {max} _{k=1,\dots ,n}|B_{k}|(|a_{n}|-a_{n}+a_{1}),}$

どこ

${\displaystyle B_{k}=b_{1}+\cdots +b_{k}.}$

特に、数列{ a _n }が非増加かつ非負の場合、

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \operatorname {max} _{k=1,\dots ,n}|B_{k}|a_{1},}$

アベルの不等式は、部分積分の離散版であるアベル変換から簡単に導かれる。 { a ₁ , a ₂ , ...}と{ b ₁ , b ₂ , ...}が実数または複素数の列である場合、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k+1}-a_{k}).}$

• ワイスタイン、エリック・W.「アベルの不平等」。マスワールド。
• 数学百科事典におけるアーベルの不等式。