トゥッテホモトピー定理

数学において、タット(1958)によって導入されたタットホモトピー定理は 、「パス」の概念をグラフからマトロイドまで一般化し、大まかに言えば、閉じたパスは基本的な閉じたパスの合成として記述できるため、ある意味では自明な閉じたパスにホモトピックであると述べています。

集合Q上のマトロイドは、 Qの空でない部分集合Mのクラス(回路と呼ばれる) によって指定されます。このクラスでは、 Mのどの要素も他の要素を含まず、XとYがMに含まれ、a がXとYに含まれ、b がXに含まれるがYには含まれない場合、 Mにはb を含みa を含まず、 X ∪ Yに含まれるZ が存在します。

Qの回路の和集合である部分集合はフラットと呼ばれます(これは Tutte の元の論文で使用されている用語ですが、現代の用法ではマトロイドのフラットは別の意味を持ちます)。M の要素は 0 フラット、0 フラットではない最小の空でないフラットは 1 フラット、0 フラットでも 1 フラットでもない最小の空でないフラットは 2 フラット、などと呼ばれます。

パスは、パスの任意の 2 つの連続する要素が何らかの 1 フラットに存在するような 0 フラットの有限シーケンスです。

基本パスは、( X、Y、X )、または ( X、Y、Z、X )のいずれかの形式で、 X、Y、Zが すべて 2 次元平面内に存在するものです。

Pの最後の 0 フラットがQの最初の 0 フラットと同じである2 つのパスPとQは、明らかな方法で合成してパスPQを作成できます。

2 つのパスは、パス内の基本パスを追加または削除する操作によって、一方が他方から取得できる場合、ホモトピックと呼ばれます。つまり、パスPR をPQRに変更するか、その逆を行います ( Qは基本パスです)。

タットのホモトピー定理の弱い形式は、任意の閉じたパスが自明なパスにホモトピックであると述べています。より強い形式では、特定の「凸」サブセットを満たさないパスについて同様の結果が述べられています。

• タット、ウィリアム・トーマス（1958）、「マトロイドのホモトピー定理。I」、アメリカ数学会誌、88（1）：144–160、doi：10.2307/1993243、ISSN  0002-9947、JSTOR  1993243、MR  0101526
• タット、ウィリアム・トーマス（1958）、「マトロイドのホモトピー定理 II」、アメリカ数学会誌、88（1）：161–174、doi：10.2307/1993244、ISSN  0002-9947、JSTOR  1993244、MR  0101526
• Tutte, WT (1971)、「マトロイド理論入門」、科学と数学における現代の分析と計算方法、第37巻、ニューヨーク：アメリカンエルゼビア出版社、pp. 72–77、Zbl  0231.05027
• ホワイト、ニール (1987)、「ユニモジュラーマトロイド」、ホワイト、ニール (編)、組み合わせ幾何学、数学とその応用百科事典、第 29 巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 40–52、doi :10.1017/CBO9781107325715、ISBN 978-0-521-33339-9、MR  0921064