トンネルの定理

数論において、トンネルの定理は合同数問題に部分的な解決を与え、バーチとスウィナートン・ダイアー予想の下では完全な解決を与える。

合同数問題は、3 辺すべてが有理数である直角三角形の面積はどの正の整数になるかという問題です。トンネルの定理は、これをいくつかの非常に単純なディオファントス方程式の積分解の数に関連付けます。

与えられた平方自由整数nに対して、

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2}+y^{ 2}+32z^{2}\},\\B_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2}+y^{2}+8z^{2}\},\\C_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{ 3}\mid n=8x^{2}+2y^{2}+64z^{2}\},\\D_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb { Z} ^{3}\中n=8x^{2}+2y^{2}+16z^{2}\}.\end{aligned}}}$

トンネルの定理は、 n が合同な数であると仮定すると、 nが奇数であれば 2 A _n = B _nであり、n が偶数であれば 2 C _n = D _nであると述べています。逆に、バーチとスウィナートン・ダイアーの予想が形式の楕円曲線に対して成り立つ場合、これらの等式はnが合同な数である と結論付けるのに十分です。${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$

この定理は、ラトガース大学の数論学者ジェロルド・B・タネルにちなんで名付けられ、彼はこれを「タネル (1983)」で証明しました。

トンネルの定理の重要性は、それが与える基準が有限の計算によって検証可能であることです。たとえば、与えられた に対して、範囲 を徹底的に検索することで数値を計算できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle -{\sqrt {n}},\ldots ,{\sqrt {n}}}$

• バーチとスウィナートン・ダイアーの予想
• 合同数

• コブリッツ、ニール（2012）、楕円曲線とモジュラー形式入門、数学の大学院テキスト（第97巻）（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-1-4612-6942-7
• トンネル、ジェロルド B. (1983)、「古典的なディオファントス問題と重み 3/2 のモジュラー形式」、Inventiones Mathematicae、72 (2): 323–334、doi :10.1007/BF01389327、hdl : 10338.dmlcz/137483