サポートポリゴン

固定された環境と接触し、垂直方向の重力の作用を受ける剛体の場合、その支持多角形は静的安定性を達成するために質量の中心が位置しなければならない水平領域です。^[1] たとえば、水平面（テーブルなど）に置かれた物体の場合、支持多角形はテーブル上の「フットプリント」の 凸包です。

支持多角形は、物体が重力下で平衡状態にあるために必要な条件を簡潔に表します。つまり、物体の質量の中心が支持多角形の上にある場合、接触領域には重力の力と正確に相殺する一連の力が存在します。これは安定性の必要条件ではありますが、十分条件ではないことに注意してください。

物体が有限個の点で接触しているとします。各点 において、その点で物体に適用できる力の集合 とします。ここで、は摩擦円錐として知られており、摩擦のクーロン モデルでは、 は実際には原点を頂点とし、接触の法線方向に無限に伸びる円錐です。 ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{N}}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle FC_{k}}$${\displaystyle FC_{k}}$

を接触点における（指定されていない）力とします。物体を静的平衡に保つには、次のニュートン・オイラー方程式が満たされる必要があります。 ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{N}}$${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{N}}$

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}f_{k}+G=0}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}f_{k}\times C_{k}+G\times CM=0}$
• ${\displaystyle f_{k}\in FC_{k}}$全ての${\displaystyle k}$

ここで、は物体にかかる重力、 は物体の質量の中心です。最初の 2 つの方程式はニュートン-オイラー方程式であり、3 つ目の方程式はすべての力が有効であることを要求します。これらすべての条件を満たす力のセットが存在しない場合、物体は平衡状態になりません。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle CM}$${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{N}}$

2 番目の方程式は質量中心の垂直成分に依存しないため、1 つの に対して解が存在する場合、同じ解がすべての に対して有効です。したがって、上記の条件に対する解を持つすべての の集合は、上下方向に無限に広がる集合です。サポート ポリゴンは、この集合を水平面に投影したものです。 ${\displaystyle CM}$${\displaystyle CM+\alpha G}$${\displaystyle CM}$

これらの結果は、さまざまな摩擦モデルや無限の数の接触点（つまり接触領域）に簡単に拡張できます。

この領域を説明するために「ポリゴン」という単語が使用されていますが、一般的には曲線のエッジを持つ任意の凸形状にすることができます。サポート ポリゴンは、重力ベクトルの周りの平行移動と回転に対して不変です (つまり、接触点と摩擦円錐が重力ベクトルの周りの平行移動と回転を行った場合、サポート ポリゴンは単純に平行移動と回転を行います)。

摩擦円錐が凸円錐である場合(通常はそうです)、サポート多角形は常に凸領域になります。また、オブジェクトの質量に対して不変です (ゼロでない場合)。

すべての接触が（必ずしも水平ではない）平面上にあり、すべての接触における摩擦円錐に負の重力ベクトルが含まれている場合、サポート多角形は、水平面に投影された接触点の凸包になります。 ${\displaystyle -G}$