スペクトル継続解析

スペクトル連続解析 (SCA) は、フーリエ級数の概念を、時間領域でその一部のみがサンプリングされた 非周期関数に一般化したものです。

フーリエ級数は周期 2π の周期関数 (または有限領域関数) f ( x )の解析にのみ適していることを思い出してください。これは正弦波の無限級数として表現できます。

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx}}$

ここで、個々の高調波の振幅です。 ${\displaystyle F_{n}}$

しかし、SCA では、スペクトルを最適化された離散周波数に分解します。その結果、サンプル関数の周期は無限であるかまだ不明であると想定されるため、サンプル関数フラグメントを構成する各離散周期関数は、基本周波数の倍数であるとは見なされません。

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{i\omega _{n}x}.}$

そのため、SCA はフーリエ解析の場合のように必ずしも周期関数を生成するわけではありません。実数値関数の場合、SCA シリーズは次のように記述できます。 ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[A_{n}\cos(\omega _{n}x)+B_{n}\sin(\omega _{n}x)\right]+C(x)}$

ここで、A _nとB _{n は}、一連の振幅です。振幅は、一連の値が目的の目的関数 (通常は最小残差) に対して事前に最適化されている場合にのみ解くことができます。 は、必ずしもサンプリングされた間隔の平均値である必要はありません。時間領域におけるオフセット値の動作に関する主要な情報を含めることが望ましい場合があります。 ${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle C(x)}$

SCA は、サンプリングされた (通常は確率的な) 時系列フラグメントを超えて周波数スペクトルを継続するという予測問題を扱います。観測された関数の周期または時間領域を無限に繰り返す通常のフーリエ解析とは異なり、SCA は観測されたスペクトルから正確な構成周波数をフィルターし、時間領域で継続 (先行) させます。したがって、科学用語では、たとえば外挿よりも継続という用語が優先されます。

トレンド除去、分解、周波数分解能の最適化、重ね合わせ、変換、計算効率など、いくつかの問題に対処するためのアルゴリズムが必要です。

• トレンド除去またはトレンド推定。
• 分解。

離散フーリエ変換は本質的にフーリエ解析に関連しているため、このタイプのスペクトル解析は定義上、SCA でのスペクトル分解には適していません。ただし、DFT (またはFFT ) は初期近似値を提供する場合があり、これにより分解が高速化されることがよくあります。

• 周波数分解能の向上。

離散周波数を分解した後、最適な解像度を得るためにフィルタリングする必要があります（つまり、周波数値、振幅、位相の 3 つのパラメータを変更します）。

• 変換。

DFT (またはFFT )はスペクトル分解能は完璧ですが、時間情報は乏しいのが特徴で、それに比べると SCA は時間情報を優先しますが、スペクトル分散が大きくなります。この特性は、SCA の解析的強みがどこにあるのかを示しています。たとえば、離散的構成周波数分解能は、定義上、DFT よりも SCA の方がはるかに優れています。