ライダーズメソッド

数値解析において、リダーズ法は偽位置法と指数関数を用いて連続関数の根を逐次的に近似する根探索アルゴリズムである。${\displaystyle f(x)}$ この方法はC. Riddersによるものです。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

リッダーズ法はミュラー法やブレント法よりも単純ですが、性能は同程度です。^{[ 3 ]} 下記の式は、関数が良好な性質を持つ場合、二次的に収束します。これは、各ステップで見つかる追加の有効桁数がほぼ2倍になることを意味します。ただし、関数は各ステップで2回評価する必要があるため、反復回数ではなく関数評価に関するこの方法の全体的な収束次数は次のようになります。$\displaystyle {\sqrt {2}}}$関数が適切に動作しない場合、根は括弧内に留まり、括弧内の区間の長さは各反復で少なくとも半分になるため、収束が保証されます。

独立変数の2つの値が与えられた場合、${\displaystyle x_{0}}$そして${\displaystyle x_{2}}$探しているルートの両側にあるので、${\displaystyle f(x_{0})f(x_{2})<0}$この方法は、まず関数を中間点で評価することから始まります。 ${\displaystyle x_{1}=(x_{0}+x_{2})/2}$すると、一意の指数関数が見つかる。${\displaystyle e^{ax}}$関数${\displaystyle h(x)=f(x)e^{ax}}$満たす${\displaystyle h(x_{1})=(h(x_{0})+h(x_{2}))/2}$具体的には、パラメータ${\displaystyle a}$によって決定されます

${\displaystyle e^{a(x_{1}-x_{0})}={\frac {f(x_{1})-\operatorname {sign} [f(x_{0})]{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}}{f(x_{2})}}.}$

次に、偽位置法を点に適用します。${\displaystyle (x_{0},h(x_{0}))}$そして${\displaystyle (x_{2},h(x_{2}))}$新たな価値につながる${\displaystyle x_{3}}$間${\displaystyle x_{0}}$そして${\displaystyle x_{2}}$、

${\displaystyle x_{3}=x_{1}+(x_{1}-x_{0}){\frac {\operatorname {sign} [f(x_{0})]f(x_{1})}{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}},}$

これは、反復の次のステップで 2 つの括弧値の 1 つとして使用されます。もう 1 つの括弧値は次のようになります。${\displaystyle x_{1}}$もし${\displaystyle f(x_{1})f(x_{3})<0}$（これは行儀の良い場合には真となる）、またはそれ以外の場合は${\displaystyle x_{0}}$そして${\displaystyle x_{2}}$反対の符号の関数値を持つ${\displaystyle f(x_{3}).}$反復手順は、目標精度が達成された時点で終了できる。

リッダーズ法は、連続関数の零点を求めるために用いられる数値的な根探索アルゴリズムです。これは、偽位置法と指数関数を組み合わせた反復法であり、根に収束します。この方法は一般的に、ミュラー法やブレント法といった他の一般的な方法よりも簡便で、同様の性能を発揮すると考えられています。