リダーズ法

数値解析において、リダース法は、擬似位置法と指数関数を用いて連続関数の根を逐次近似する根探索アルゴリズムである。この方法はC.リダースによるものである。^{[1] [2]}${\displaystyle f(x)}$

リダーズ法は、ミュラー法やブレント法よりも単純ですが、パフォーマンスは同様です。^[3] 以下の式は、関数が適切に動作する場合、2 次収束します。つまり、各ステップで見つかる追加の有効桁数は約 2 倍になります。ただし、関数は各ステップで 2 回評価される必要があるため、反復回数ではなく関数評価に関するこの方法の全体的な収束順序は です。関数が適切に動作しない場合は、根は括弧で囲まれたままになり、括弧区間の長さは各反復で少なくとも半分になるため、収束が保証されます。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

独立変数 と の2つの値が与えられ、これらは求める根の2つの異なる側にあるため となり、この方法はまず中点 における関数を評価することから始まる 。次に、関数 がを満たす唯一の指数関数を見つける。具体的には、パラメータは次のように決定される。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle f(x_{0})f(x_{2})<0}$${\displaystyle x_{1}=(x_{0}+x_{2})/2}$${\displaystyle e^{ax}}$${\displaystyle h(x)=f(x)e^{ax}}$${\displaystyle h(x_{1})=(h(x_{0})+h(x_{2}))/2}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle e^{a(x_{1}-x_{0})}={\frac {f(x_{1})-\operatorname {sign} [f(x_{0})]{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}}{f(x_{2})}}.}$

次に、偽位置法を点とに適用し、と の間に新しい値が得られる。 ${\displaystyle (x_{0},h(x_{0}))}$${\displaystyle (x_{2},h(x_{2}))}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle x_{3}=x_{1}+(x_{1}-x_{0}){\frac {\operatorname {sign} [f(x_{0})]f(x_{1})}{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}},}$

これは、反復の次のステップで 2 つの括弧値の 1 つとして使用されます。もう 1 つの括弧値は、 の場合(正常に動作する場合には true)、それ以外の場合は と のどちらかの値が反対の符号の関数値を持つ場合に使用されます。反復手順は、目標精度が達成された時点で終了できます。 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle f(x_{1})f(x_{3})<0}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle f(x_{3}).}$