再降順M推定量

統計学において、再降下 M 推定量は、原点近くではψ関数が非減少であるが、原点から遠いほど 0 に向かって減少するΨ型のM 推定量です。それらのψ関数は、滑らかにゼロに再降下するように選択できるため、通常、 | x | > rであるすべての x に対してψ ( x ) = 0 を満たします。ここで、rは最小棄却点と呼ばれます。

ψ関数のこれらの特性により、これらの種類の推定値は非常に効率的で、ブレークダウン ポイントが高く、他の外れ値拒否手法とは異なり、マスキング効果の影響を受けません。これらの推定値は、全体的な外れ値を完全に拒否し、中程度の大きさの外れ値 (中央値など) を完全に無視しないため、効率的です。

再降下 M 推定量はブレークダウン ポイントが高く(0.5 に近い)、Ψ関数は 0 にスムーズに再降下するように選択できます。これは、適度に大きな外れ値が完全に無視されないことを意味し、再降下 M 推定量の効率が大幅に向上します。

再降順 M 推定量は、対称的で裾の広い分布のいくつかについてはHuber 推定量よりもわずかに効率的ですが、コーシー分布については Huber 推定量よりも約 20% 効率的です。これは、再降順 M 推定量が大きな外れ値を完全に拒否するのに対し、Huber 推定量はこれらの外れ値を実質的に中程度の外れ値と同じように扱うためです。

他の M 推定値と同様ですが、他の外れ値除去手法とは異なり、マスキング効果の影響を受けません。

再降順推定量の M 推定方程式は、一意の解を持たない可能性があります。したがって、反復解の初期点は、別の推定量を使用するなどして、慎重に選択する必要があります。

再降下するΨ関数を選択する場合、関数が急激に降下しないように注意する必要がある。これは漸近分散の式の分母に非常に悪い影響を与える可能性がある。

${\displaystyle {\frac {\int \Psi ^{2}\,dF}{(\int \Psi '\,dF)^{2}}}}$

ここで、F は混合モデル分布です。

この効果は、 ψ ′( x )の大きな負の値とψ ² ( x )の大きな正の値が組み合わされ、x の近くに外れ値が集中している場合に特に有害です。

1. ハンペルの3部構成のM推定量には、奇関数であり、任意のxに対して次のように定義されるΨ関数があります。

${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}x,&0\leq |x|\leq a{\text{ (中央部分)}}\\a\,\operatorname {sign} (x),&a\leq |x|\leq b{\text{ (高低の平坦部分)}}\\{\frac {a(r-|x|)}{rb}}\,\operatorname {sign} (x),&b\leq |x|\leq r{\text{ (傾斜の終わり)}}\\0,&r\leq |x|\qquad \,{\text{(左裾と右裾)}}\end{cases}}}$

この関数は、次の図にa  = 1.645、b  = 3、r  = 6.5 の場合にプロットされています。

2. Tukeyのbiweightまたはbisquare M推定量には、任意の正のkに対して次のように定義されるΨ関数があります。

${\displaystyle \Psi (x)=x(1-(x/k)^{2})^{2};\ |x|\leq k}$

この関数は、次の図にk  = 5 の場合にプロットされています。

3. アンドリューの正弦波M推定器には次のΨ関数があります。

${\displaystyle \Psi (x)=\sin {(x)};\ -\pi \leq x\leq \pi }$

この関数は次の図に示されています。

• Redescending M-estimators、Shevlyakov, G、Morgenthaler, S、および Shurygin, AM, J Stat Plann Inference 138:2906–2917、2008。
• ロバスト推定とテスト、Robert G. Staudte と Simon J. Sheather、Wiley 1990 年。
• ロバスト統計学、Huber, P.、ニューヨーク：Wiley、1981年。

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