ランキン理論

1857 年にウィリアム・ジョン・マククォーン・ランキン^{[1]によって開発された}ランキン理論 (最大法線応力理論)は、能動土圧と受動土圧を予測する応力場解法です。この理論では、土壌は粘着性がなく、壁は摩擦がなく、土と壁の境界は垂直で、土壌が移動する破壊面は平面で、合力は埋め戻し面と平行になると仮定しています。能動および受動横方向土圧係数の式を以下に示します。φ' は土壌のせん断抵抗角であり、埋め戻しは水平に対して角度 β で傾斜していることに注意してください。

${\displaystyle K_{a}={\frac {\cos \beta -\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}{\cos \beta +\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}}*cos\beta }$

${\displaystyle K_{p}={\frac {\cos \beta +\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}{\cos \beta -\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}}*cos\beta }$

βが0の場合、上記の式は次のように簡略化される。

${\displaystyle K_{a}=\tan ^{2}\left(45-{\frac {\phi }{2}}\right)\ }$

${\displaystyle K_{p}=\tan ^{2}\left(45+{\frac {\phi }{2}}\right)\ }$

ランキンの理論によれば、任意の点の最大主応力が、単純引張試験片の破損時の引張応力と等しい値に達したときに破損が発生します。この理論では、他の 2 つの主応力の影響は考慮されません。ランキンの理論は脆性材料には適していますが、延性材料には適用できません。この理論は最大応力理論とも呼ばれます。

この理論は、土壌が塑性 平衡状態にあるとみなし、土壌が均質で等方性であり、内部摩擦があるという仮定に基づいています。土壌が壁に対して及ぼす圧力は、能動圧力と呼ばれます。土壌が押し付ける物体に対して土壌が提供する抵抗は、「受動圧力」と呼ばれます。ランキンの理論は、非圧縮性土壌に適用できます。非粘着性 能動土圧の式は、次のように表されます。

${\displaystyle P_{a}=K_{a}wh}$

どこ：

${\displaystyle K_{a}={\frac {\cos \beta -\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}{\cos \beta +\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}}*\cos \beta }$

そして：

K _a = 有効圧力係数

w = 土壌の重量密度

h = 圧力が評価されるセクションの深さ（表土の下）。

β = 土壌の上面が水平面となす角度。

φ = 土壌の内部摩擦角。

受動圧力の表現は次のとおりです。

${\displaystyle P_{p}=K_{p}wh}$

どこ：

${\displaystyle K_{p}={\frac {\cos \beta +\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}{\cos \beta -\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}}*\cos \beta }$

または、β=0 の場合、2 つの係数は反比例し、次のようになります。

${\displaystyle K_{p}={\frac {1}{K_{a}}}}$

• 横方向土圧
• モール・クーロン理論
• 土質力学
• 擁壁