一様化（確率論）

確率論において、一様化法（ジェンセン法^{[ 1 ]}またはランダム化法^{[ 2 ]}とも呼ばれる）は、有限状態連続時間マルコフ連鎖の過渡解を、離散時間マルコフ連鎖で近似することによって計算する方法である。^{[ 2 ]}元の連鎖は最速の遷移率γでスケーリングされるため、すべての状態で遷移が同じ速度で発生する。これがこの名前の由来である。この方法はプログラミングが簡単で、ある時点（ゼロ付近）での過渡分布の近似を効率的に計算する。^{[ 1 ]}この方法は、1977年にウィンフリート・グラスマンによって初めて導入された。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

遷移率行列Qを持つ連続時間マルコフ連鎖の場合、均一化された離散時間マルコフ連鎖は確率遷移行列を持つ。${\displaystyle P:=(p_{ij})_{i,j}}$これは^{[ 1 ] [ 6 ] [ 7 ]で定義される。}

${\displaystyle p_{ij}={\begin{cases}q_{ij}/\gamma &{\text{ if }}i\neq j\\1-\sum _{k\neq i}q_{ik}/\gamma &{\text{ if }}i=j\end{cases}}}$

γは均一速度パラメータであり、次のように選択される。

${\displaystyle \gamma \geq \max _{i}|q_{ii}|.}$

行列表記では：

${\displaystyle P=I+{\frac {1}{\gamma }}Q.}$

初期分布π (0)の場合、時刻tにおける分布π ( t )は^{[ 1 ]}によって計算される。

${\displaystyle \pi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\pi (0)P^{n}{\frac {(\gamma t)^{n}}{n!}}e^{-\gamma t}.}$

この表現は、連続時間マルコフ連鎖が、上記で定義された遷移行列Pを持つ離散マルコフ連鎖によって記述できることを示しており、ジャンプは強度γtのポアソン過程に従って発生します。 

実際には、この級数は有限個の項で打ち切られる。

アルゴリズムの擬似コードは、ReibmanとTrivediの1988年の論文の付録Aに含まれています。 ^{[ 8 ]}アルゴリズムの並列バージョンを使用して、 ^10⁷より大きい状態空間を持つチェーンが分析されています。^{[ 9 ]}

ライプマンとトリヴェディは、「典型的な問題には均一化が最適な方法である」と述べているが、硬い問題には、より優れたパフォーマンスを発揮する可能性のある特注アルゴリズムもあると指摘している。^{[ 8 ]}

• Matlab実装