Qガイダンス

Q 誘導は、米国の一部の弾道ミサイルや民間宇宙飛行で使用されているミサイル誘導方式です。1950 年代にMIT 計測研究所のJ. ハルコム・レーン氏とリチャード・バッティン氏によって開発されました。

Q 誘導は、ミサイルの推進システムが作動する比較的短いブースト段階(またはパワー段階) と、それに続く重力の影響下でミサイルが目標に向かって惰性で進む弾道段階で構成される軌道を持つミサイルに使用されます (巡航ミサイルは異なる誘導方法を使用します)。Q 誘導の目的は、指定された時間に指定された目標を攻撃することです (目標を攻撃する時間に関して柔軟性がある場合は、他の種類の誘導を使用できます)。

Q誘導が開発された当時、主な競合方式はデルタ誘導と呼ばれていた。マッケンジー^{[1]によれば、} タイタン、アトラス、ミニットマンIおよびIIのいくつかのバージョンはデルタ誘導を使用し、Q誘導はトールIRBMとポラリス、そしておそらくポセイドン で使用された。試験発射の監視から、初期のソビエトICBMはデルタ誘導の変種を使用していたと思われる。

デルタ誘導は、地上のコンピュータを使用して飛行前に作成され、ミサイルの誘導システムに保存される計画された基準軌道の順守に基づいています。飛行中、実際の軌道は基準軌道の周りのテイラー級数展開として数学的にモデル化されます。誘導システムは、この式の線形項をゼロにしようとします。つまり、ミサイルを計画された軌道に戻そうとします。このため、デルタ誘導は「ワイヤーに沿って飛ぶ」と呼ばれることもあります。ここで、(架空の)ワイヤーは基準軌道を指します。^[1]

対照的に、Q ガイダンスは動的手法であり、動的プログラミングや状態ベースのフィードバックの理論を彷彿とさせます。本質的には、「私たちがどこにいるはずだったかは気にせず、私たちがどこにいるかを考慮して、必要な時間に要求されたターゲットに到達するという目標に向かって前進するために何をすべきか」ということです。これを行うには、「獲得すべき速度」という概念に依存します。

特定の時間tと特定の車両位置rにおいて、相関速度ベクトルV _{c は}次のように定義されます。車両の速度がV _cで推進システムがオフの場合、ミサイルは重力の影響下で、目的の時間に目的のターゲットに到達します。ある意味では、V _{c は}目的の速度です。

ミサイルの実際の速度はV _mで表され、ミサイルは重力加速度gとエンジン加速度a _Tの両方の影響を受けます。得られる速度は、V _cとV _mの差として定義されます。

${\displaystyle V_{\text{TBG}}=V_{\text{c}}-V_{\text{m}}.}$

簡単な誘導戦略は、 V _TBGの方向に加速（つまりエンジン推力）をかけることです。これにより、実際の速度がV _cに近づきます。両者が等しくなったとき（つまりV _{TBG が}まったくゼロになったとき）、ミサイルは定義上、自力で目的の時間に目的のターゲットに到達できるため、エンジンを停止します。

残る唯一の問題は、車両に搭載された情報から V _{TBG を}簡単に計算する方法です。

得られる速度を計算するには、非常に単純な微分方程式を使用できます。

${\displaystyle {\frac {dV_{\text{TBG}}}{dt}}=-a_{\text{T}}-QV_{\text{TBG}},}$

ここでQ行列は次のように定義される。

${\displaystyle Q=\left.{\frac {\partial V_{\text{c}}}{\partial r}}\right|_{r_{\text{T}},t_{\text{f}}},}$

ここで、_{Qは対称3×3の時間変動行列です。（縦棒は、与えられた目標位置rT}と自由_{飛行時間tf}に対して導関数を評価する必要があることを示しています。）^[2]この行列の計算は簡単ではありませんが、飛行前にオフラインで実行できます。経験上、行列は時間とともにゆっくりとしか変化しないため、飛行中のさまざまな時間に対応するQの値をいくつか機体に保存するだけで済みます。

初期のアプリケーションでは、微分方程式の積分はデジタル コンピュータではなくアナログ ハードウェアを使用して実行されていました。車両の加速度、速度、位置に関する情報は、搭載された慣性測定ユニットによって提供されます。

推力ベクトルをV _{TBGベクトルに徐々に合わせるための合理的な戦略は、それらの間の}外積に比例する速度で操縦することです。これを実現する簡単な制御戦略は、

${\displaystyle \omega =\kappa (a_{\text{T}}\times V_{\text{TBG}}),}$

ここで、は定数です。これは暗黙的に、操作中はV _{TBG がほぼ一定のままであると仮定しています。これは上記の微分方程式から得られるため、} V _TBGの時間変化率も考慮した、もう少し巧妙な戦略を設計することができます。 ${\displaystyle \kappa}$

この2番目の制御戦略は、バッティンの洞察^[3]「ベクトルをゼロにしたい場合、ベクトルの時間変化率をベクトル自体と一致させることが[好都合]である」に基づいています。これは、オートパイロットのステアリング速度を

${\displaystyle \omega =\kappa \left(V_{\text{TBG}}\times {\frac {dV_{\text{TBG}}}{dt}}\right).}$

これらの方法はいずれもクロスプロダクトステアリングと呼ばれ、アナログ ハードウェアで簡単に実装できます。

最後に、V _TBGのすべてのコンポーネントが小さい場合、エンジン出力を遮断する命令を出すことができます。

• D. マッケンジー：『正確さの発明 - 核ミサイル誘導の歴史社会学』、MIT プレス、1990 年、ISBN  0-262-13258-3。
• R. Battin:天体力学の数学と方法への入門、AIAA、1999年、ISBN 1-56347-342-9。レビュー。 
• SA Kamal、A. Mirza：「SLV への適用が可能なマルチステージ Q システムと逆 Q システム」、Proc. IBCAST 2005、第 3 巻、制御とシミュレーション、Hussain S. I.、Munir A.、Kiyani J.、Samar R.、Khan M. A. 編集、National Center for Physics、Bhurban、KP、パキスタン、2006 年、pp. 27～33。全文無料。
• SA Kamal:クロスプロダクトステアリングの不完全性と拡張クロスプロダクトステアリングの数学的定式化、Proc. IBCAST 2002、第 1 巻、Advanced Materials、Computational Fluid Dynamics and Control Engineering、Hoorani H. R.、Munir A.、Samar R.、Zahir S. 編集、National Center for Physics、Bhurban、KP、パキスタン、2003 年、pp. 167–177。全文無料。