ニューラル暗号

ツリーパリティマシンは、特殊なタイプの多層フィードフォワードニューラルネットワークである。

これは、1つの出力ニューロン、K個の隠れニューロン、およびK × N個の入力ニューロンから構成されます。ネットワークへの入力は次の3つの値をとります。

${\displaystyle x_{ij}\in \left\{-1,0,+1\right\}}$

入力ニューロンと隠れニューロン間の重みは、以下の値をとります。

${\displaystyle w_{ij}\in \left\{-L,...,0,...,+L\right\}}$

各隠れニューロンの出力値は、入力ニューロンとこれらの重みとの積の合計として計算されます。

${\displaystyle \sigma _{i}=\operatorname {sgn}(\sum _{j=1}^{N}w_{ij}x_{ij})}$

Signumは、-1、0、または1を返すシンプルな関数です。

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$

スカラー積が0の場合、バイナリ出力値を保証するために、隠れニューロンの出力は-1にマッピングされます。ニューラルネットワークの出力は、隠れ要素によって生成されたすべての値の乗算として計算されます。

$\displaystyle \tau =\prod _{i=1}^{K}\sigma _{i}}$

ツリーパリティマシンの出力はバイナリです。

各当事者（AとB）はそれぞれ独自のツリーパリティマシンを使用する。ツリーパリティマシンの同期は、以下の手順で実現される。

1. ランダムな重み値を初期化する
2. 完全な同期が達成されるまで、これらの手順を実行してください。
   1. ランダムな入力ベクトルXを生成する
   2. 隠れニューロンの値を計算する
   3. 出力ニューロンの値を計算する
   4. 両方のツリーパリティマシンの値を比較する
      1. 出力は同じです。適切な学習ルールのいずれかが重みに適用されます。
      2. 出力が異なります。2.1に進んでください。

完全な同期が達成された後（両方のツリーパリティマシンの重み w _{ijが同じになった後）、} AとB はそれぞれの重みを鍵として使用できます。 この方法は双方向学習として知られています。同期には、 以下の学習ルール^{[ 1 ]のいずれかを使用できます。}

• ヘッブ学習ルール：

${\displaystyle w_{i}^{+}=g(w_{i}+\sigma _{i}x_{i}\Theta (\sigma _{i}\tau )\Theta (\tau ^{A}\tau ^{B}))}$

• 反ヘッブ学習ルール：

${\displaystyle w_{i}^{+}=g(w_{i}-\sigma _{i}x_{i}\Theta (\sigma _{i}\tau )\Theta (\tau ^{A}\tau ^{B}))}$

• ランダムウォーク：

${\displaystyle w_{i}^{+}=g(w_{i}+x_{i}\Theta (\sigma _{i}\tau )\Theta (\tau ^{A}\tau ^{B}))}$

どこ：

$\displaystyle \Theta (a,b)=0}$もし${\displaystyle a\neq b}$さもないと${\displaystyle \Theta (a,b)=1}$

そして：

${\displaystyle g(x)}$これは、${\displaystyle w_{i}}$範囲内${\displaystyle \{-L,-L+1,...,0,...,L-1,L\}}$

あらゆる攻撃において、攻撃者Eは当事者AとBの間のメッセージを盗聴することはできるが、メッセージを改ざんする機会はないものとみなされる。

順列パリティマシンは、ツリーパリティマシンのバイナリ版である。^{[ 3 ]}

これは、1つの入力層、1つの隠れ層、および1つの出力層から構成されます。出力層のニューロン数は、隠れユニット数Kに依存します。各隠れニューロンはN個のバイナリ入力ニューロンを持ちます。

${\displaystyle x_{ij}\in \left\{0,1\right\}}$

入力ニューロンと隠れニューロン間の重みもバイナリ値です。

${\displaystyle w_{ij}\in \left\{0,1\right\}}$

各隠れニューロンの出力値は、入力ニューロンとこれらの重みのすべての排他的論理和（排他的論理和）の合計として計算されます。

${\displaystyle \sigma _{i}=\theta _{N}(\sum _{j=1}^{N}w_{ij}\oplus x_{ij})}$

（⊕はXORを表します。）

機能${\displaystyle \theta _{N}(x)}$これは閾値関数であり、0または1を返します。

${\displaystyle \theta _{N}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq N/2,\\1&{\text{if }}x>N/2.\end{cases}}}$

2つ以上の隠れニューロンを持つニューラルネットワークの出力は、隠れ要素によって生成される値の排他的論理和として計算できます。

${\displaystyle \tau =\bigoplus _{i=1}^{K}\sigma _{i}}$

K>2の場合の出力層の他の構成も可能です。^{[ 3 ]}

このマシンはいくつかの攻撃に対して十分堅牢であることが証明されているため^{[ 4 ]}、暗号化手段として使用できるが、確率的攻撃に対して脆弱であることが示されている^{[ 5 ] 。}

量子コンピュータとは、量子メカニズムを用いて計算を行う装置です。この装置では、データは量子ビット（量子バイナリ数字）として保存されます。そのため、従来のコンピュータと比較して、量子コンピュータは離散対数問題や因数分解といった複雑な問題を短時間で解決できるという利点があります。この特性を利用して、これらの数論の問題に基づかないアルゴリズムの開発が進められています。

ニューラル鍵交換プロトコルは、いかなる数論にも基づいていません。ニューラルネットワークの単方向同期と双方向同期の違いに基づいています。したがって、ニューラル鍵交換プロトコルのようなものは、より高速な鍵交換方式を生み出す可能性があります。^{[ 2 ]}