自然な擬似距離

サイズ理論では、2 つのサイズのペア間の自然擬距離は値 であり、ここで は多様体 から多様体へのすべての同相写像の集合内で変化し、 は上限ノルムです。と が同相でない場合、自然擬距離は と定義されます。 通常、 、は閉じた多様体であり、測定関数 はであると想定されます。 言い換えると、自然擬距離は、からへの同相写像によって誘導される測定関数の変化の下限を測定します。 ${\displaystyle (M,\varphi :M\to \mathbb {R} )\ }$${\displaystyle (N,\psi :N\to \mathbb {R} )\ }$${\displaystyle \inf _{h}\|\varphi -\psi \circ h\|_{\infty }\ }$${\displaystyle h\ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle N\ }$${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }\ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle N\ }$${\displaystyle \infty \ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle N\ }$${\displaystyle C^{1}\ }$ ${\displaystyle \varphi ,\psi \ }$${\displaystyle C^{1}\ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle N\ }$

自然擬距離の概念は、測定関数がの値を取るサイズのペアに簡単に拡張できます 。^[1]のとき、のすべての同相写像の群は、自然擬距離の定義で の部分群に置き換えることができるため、群 に関する自然擬距離の概念が得られます。^{[2] [3]}群 に関する自然擬距離の下限値と近似値は、-不変パーシステントホモロジー^[4]と、古典的なパーシステントホモロジーと G 同値非拡大演算子の使用を組み合わせることによって取得できます。 ^{[2] [3]}${\displaystyle \varphi \ }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\ }$${\displaystyle M=N\ }$${\displaystyle H\ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle G\ }$${\displaystyle H\ }$${\displaystyle G\ }$${\displaystyle G\ }$${\displaystyle G}$

^[5] 自然擬似距離は、常に、測定関数（同じ測定関数の場合もある）の2つの臨界値間のユークリッド距離を適切な正の整数 で割った値に等しいことが証明されています。と が面の場合、その数は、または と仮定できます。^[6]と が曲線の場合、その数は、または と仮定できます。^[7] 最適同相写像が存在する場合（つまり）、 はと仮定できます。^[5]最適同相写像に関する研究はまだ始まったばかりです。^{[8] [9]}${\displaystyle k\ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle N\ }$${\displaystyle k\ }$${\displaystyle 1\ }$${\displaystyle 2\ }$${\displaystyle 3\ }$${\displaystyle M\ }$${\displaystyle N\ }$${\displaystyle k\ }$${\displaystyle 1\ }$${\displaystyle 2\ }$${\displaystyle {\bar {h}}\ }$${\displaystyle \|\varphi -\psi \circ {\bar {h}}\|_{\infty }=\inf _{h}\|\varphi -\psi \circ h\|_{\infty }\ }$${\displaystyle k\ }$${\displaystyle 1\ }$

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