塊状性

確率論において、集中可能性は、連続時間マルコフ連鎖の状態空間のサイズを縮小する方法であり、ケメニーとスネルによって最初に発表されました。^[1]

マルコフ連鎖の完全な状態空間が状態の互いに素な部分集合に分割されていると仮定する。これらの部分集合は t i で示される。これは状態の分割を形成する。_状態空間 と部分集合の集合は、どちらも有限または可算無限のいずれかである。連続時間マルコフ連鎖が分割Tに関してまとめられるのは、分割内の任意の部分集合t _iとt _j、および部分集合t _i内の任意の状態n,n'に対して、次の場合のみである。 ${\displaystyle \scriptstyle {T=\{t_{1},t_{2},\ldots \}}}$${\displaystyle \{X_{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{m\in t_{j}}q(n,m)=\sum _{m\in t_{j}}q(n',m),}$

ここでq ( i,j )は状態iから状態jへの遷移率である。^[2]

同様に、確率行列 Pについて、P が分割T上の集約行列となるのは、分割内の任意の部分集合t _iとt _j 、および部分集合t _i内の任意の状態n,n'に対して、

${\displaystyle \sum _{m\in t_{j}}p(n,m)=\sum _{m\in t_{j}}p(n',m),}$

ここでp ( i,j )は状態iから状態jに遷移する確率である。^[3]

マトリックスを考える

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{8}}&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{16}}\\{\frac {7}{16}}&{\frac {7}{16}}&0&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{16}}&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {7}{16}}\\0&{\frac {1}{16}}&{\frac {3}{8}}&{\frac {9}{16}}\end{pmatrix}}}$

そして、 t  = {(1,2),(3,4)} の分割でそれがまとめられることに注意して、次のように書く。

${\displaystyle P_{t}={\begin{pmatrix}{\frac {7}{8}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{16}}&{\frac {15}{16}}\end{pmatrix}}}$

P _{t を}P t上の集中行列と呼びます。

2012年、カテハキスとスミットは、連続的にまとめられるプロセスを発見しました。このプロセスでは、マルコフ連鎖の適切なシーケンスの定常確率を連続的に計算することで定常確率を得ることができます。後者の連鎖はそれぞれ（通常は非常に）小さな状態空間を持ち、これにより計算能力が大幅に向上します。これらの結果は、信頼性や待ち行列のモデルや問題に多くの用途があります。^[4]

フランチェスキーニスとムンツは、速度行列の小さな変化によって連鎖がまとめられる性質である準まとめやすさを導入した。^[5]

• ほぼ完全に分解可能なマルコフ連鎖