リンドレー方程式

確率論において、リンドレー方程式、リンドレー再帰、またはリンドレー過程^[1]は、離散時間確率過程 A _nであり、 nは整数値 をとり、

A _{n  + 1} = max(0,  A _n  +  B _n ) です。

この形式のプロセスは、行列に並んでいる顧客の待ち時間や、行列の長さの経時的変化を説明するために使用できます。このアイデアは、ケンドールの1951年の論文に続く議論で初めて提案されました。 ^{[2] [3]}

デニス・リンドリーによるこのテーマに関する最初の論文^[4]では、先入先出法（FIFO）の規則に従って、列に並んだ顧客の待ち時間を説明するためにこの式が使用されています。

Wn  _{+ 1 =最大} (0 , Wn  +  Un ₎

どこ

• T _{n は}n番目と( n +1)番目の到着間の時間であり、
• S _{n は}n番目の顧客のサービス時間であり、
• U _n  =  S _n  −  T _n
• W _{n は}n番目の顧客の待ち時間です。

最初の顧客は待つ必要がないため、W ₁  = 0 です。前の顧客がサービスを受ける前に後続の顧客が到着した場合、後続の顧客は待たなければなりません。

キューの長さのプロセスの進化は、リンドリー方程式の形式で記述することもできます。

リンドレーの積分方程式は、 G/G/1待ち行列における定常待ち時間分布F( x )が満たす関係である。

${\displaystyle F(x)=\int _{0^{-}}^{\infty }K(xy)F({\text{d}}y)\quad x\geq 0}$

ここでK( x )は、( k -1)番目の顧客の到着と( k  -1)番目とk番目の顧客の 到着間隔の差を表す確率変数の分布関数である。この式を解くにはウィーナー・ホップ法を使用することができる。^[5]