ウィンダミア夫人の扇（数学）

数学において、ウィンダミア夫人の扇は、数値アルゴリズムの全体的誤差と局所的誤差を関連付けるために使用される望遠鏡的恒等式です。この名前は、オスカー・ワイルドの 1892 年の劇『ウィンダミア夫人の扇、善良な女性についての劇』に由来しています。

を厳密な解演算子とすると、次のようになります。 ${\displaystyle E(\ \tau ,t_{0},y(t_{0})\ )}$

${\displaystyle y(t_{0}+\tau )=E(\tau ,t_{0},y(t_{0}))\ y(t_{0})}$

は初期時刻、 は与えられた で近似される関数を表します。 ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle y(t_{0})}$

さらに、を時刻 における数値近似とします。は近似演算子によって次のように達成できます。 ${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\ n\leq N}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{0}\leq T=t_{N}}$${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle \Phi (\ h_{n},t_{n},y(t_{n})\ )}$

${\displaystyle y_{n}=\Phi (\ h_{n-1},t_{n-1},y(t_{n-1})\ )\ y_{n-1}\quad }$と${\displaystyle h_{n}=t_{n+1}-t_{n}}$

近似演算子は、使用される数値スキームを表します。ステップ幅のある単純な明示的フォワードオイラー法の場合、次のようになります。${\displaystyle h}$${\displaystyle \Phi _{\text{オイラー}}(\ h,t_{n-1},y(t_{n-1})\ )\ y_{n-1}=(1+h{\frac {d}{dt}})\ y_{n-1}}$

ローカル エラー は次のように表されます。 ${\displaystyle d_{n}}$

${\displaystyle d_{n}:=D(\ h_{n-1},t_{n-1},y(t_{n-1})\ )\ y_{n-1}:=\left[\Phi (\ h_{n-1},t_{n-1},y(t_{n-1})\ )-E(\ h_{n-1},t_{n-1},y(t_{n-1})\ )\right]\ y_{n-1}}$

略語では次のように書きます。

${\displaystyle \Phi (h_{n}):=\Phi (\ h_{n},t_{n},y(t_{n})\ )}$

${\displaystyle E(h_{n}):=E(\ h_{n},t_{n},y(t_{n})\ )}$

${\displaystyle D(h_{n}):=D(\ h_{n},t_{n},y(t_{n})\ )}$

すると、単一変数の関数に対するレディ・ウィンダミアの扇は次のように記述されます。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y_{N}-y(t_{N})=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ (y_{0}-y(t_{0}))+\sum _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ d_{n}}$

グローバルエラーは${\displaystyle y_{N}-y(t_{N})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{N}-y(t_{N})&{}=y_{N}-\underbrace {\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})+\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})} _{=0}-y(t_{N})\\&{}=y_{N}-\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})+\underbrace {\sum _{n=0}^{N-1}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{n})-\sum _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{n})} _{=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})-\sum _{n=N}^{N}\left[\prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\right]\ y(t_{n})=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})-y(t_{N})}\\&{}=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y_{0}-\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{0})+\sum _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n-1}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{n-1})-\sum _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ y(t_{n})\\&{}=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ (y_{0}-y(t_{0}))+\sum _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\left[\Phi (h_{n-1})-E(h_{n-1})\right]\ y(t_{n-1})\\&{}=\prod _{j=0}^{N-1}\Phi (h_{j})\ (y_{0}-y(t_{0}))+\sum _{n=1}^{N}\ \prod _{j=n}^{N-1}\Phi (h_{j})\ d_{n}\end{aligned}}}$

• ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの式
• 数値エラー