K凸関数

K凸関数は、 Scarf ^[1]によって初めて導入され、在庫管理理論におけるポリシーの最適性の証明に不可欠な凸関数の概念を特別に弱めたものです。ポリシーは 2 つの数値sとSによって特徴付けられ、在庫レベルがレベルsを下回ると、在庫をレベルSまで上げる数量の注文が発行され、それ以外の場合は何も注文されません。Gallego と Sethi ^{[2] は、}K凸性の概念を高次元ユークリッド空間に一般化しました。 ${\displaystyle (s,S)}$${\displaystyle S\geq s}$

同等の 2 つの定義は次のとおりです。

Kを非負の実数とする。関数がK凸関数 であるとは、${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle g(u)+z\left[{\frac {g(u)-g(ub)}{b}}\right]\leq g(u+z)+K}$

任意のおよびに対して。 ${\displaystyle u,z\geq 0,}$${\displaystyle b>0}$

関数がK凸関数であるとき、 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle g(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)\leq \lambda g(x)+{\bar {\lambda }}[g(y)+K]}$

すべての に対して、 となります。 ${\displaystyle x\leq y,\lambda \in [0,1]}$${\displaystyle {\bar {\lambda}}=1-\lambda }$

この定義は、可視性の概念に関連した単純な幾何学的解釈が可能である。^[3]とする。中間点がすべてこれら2点を結ぶ線分の下にある場合、その点はから可視であると言われる。すると、 K凸性の幾何学的特徴付けは次のように得られる。 ${\displaystyle a\geq 0}$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle (y,f(y)+a)}$${\displaystyle (\lambda x+{\bar {\lambda }}y,f(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)),0\leq \lambda \leq 1}$

関数がK凸である場合、かつすべての に対してから が可視である場合に限ります。${\displaystyle g}$${\displaystyle (x,g(x))}$${\displaystyle (y,g(y)+K)}$${\displaystyle y\geq x}$

上記の定義が互いに変換できることを証明すれば十分である。これは変換を使って確認できる。

${\displaystyle \lambda =z/(b+z),\quad x=ub,\quad y=u+z.}$

^[4]

がK凸である場合、任意の に対してL凸です。特に、 が凸である場合、任意の に対してもK凸です。 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle L\geq K}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K\geq 0}$

がK凸で がL凸の場合、 は凸です。 ${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle \alpha \geq 0,\beta \geq 0,\;g=\alpha g_{1}+\beta g_{2}}$${\displaystyle (\alpha K+\beta L)}$

がK凸であり、がすべての に対してとなるランダム変数である場合、もK凸です。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle E|g(x-\xi )|<\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle Eg(x-\xi )}$

がK凸である場合、任意の凸集合上のの制限はK凸です。 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {D} \subset \mathbb {R} }$

が連続K凸関数であり、である場合、となる スカラーおよびが存在し、${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle g(y)\rightarrow \infty }$${\displaystyle |y|\rightarrow \infty }$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\leq S}$

• ${\displaystyle g(S)\leq g(y)}$、すべてに対して;${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle g(S)+K=g(s)<g(y)}$、すべてに対して;${\displaystyle y<s}$
• ${\displaystyle g(y)}$は 上の減少関数です。${\displaystyle (-\infty,s)}$
• ${\displaystyle g(y)\leq g(z)+K}$すべての人のために。${\displaystyle y,z}$${\displaystyle s\leq y\leq z}$

• Gallego, G.; Sethi, SP (2005). 「 R n {\displaystyle {\mathfrak {R}}^{n}} における K {\displaystyle {\mathcal {K}}} -凸性」(PDF) .最適化理論と応用ジャーナル. 127 (1): 71–88. doi :10.1007/s10957-005-6393-4. MR  2174750.