グリーン行列

数学、特に常微分方程式において、グリーン行列は、常微分方程式の 1 次不同次線形システムの特定の解を決定するのに役立ちます。この概念は、ジョージ・グリーンにちなんで名付けられました。

たとえば、がベクトルで がの行列関数であり、 が に対して連続であり、 が何らかの区間である場合を考えます。 ${\displaystyle x'=A(t)x+g(t)\,}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle A(t)\,}$${\displaystyle n\times n\,}$${\displaystyle t\,}$${\displaystyle t\in I,a\leq t\leq b\,}$${\displaystyle I\,}$

ここで、同次方程式の線形独立な解を列に並べて基本行列を形成します。 ${\displaystyle x^{1}(t),\ldots ,x^{n}(t)\,}$${\displaystyle n\,}$${\displaystyle x'=A(t)x\,}$

${\displaystyle X(t)=\left[x^{1}(t),\ldots ,x^{n}(t)\right].\,}$

次はの行列解です。 ${\displaystyle X(t)\,}$${\displaystyle n\times n\,}$${\displaystyle X'=AX\,}$

この基本行列は同次解を提供し、特定の解に追加すると、非同次方程式の一般解が得られます。

一般解をと します。さて、${\displaystyle x=Xy\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=X'y+Xy'\\&=AXy+Xy'\\&=Ax+Xy'.\end{aligned}}}$

これは、または が任意の定数ベクトル であることを意味します。${\displaystyle Xy'=g\,}$${\displaystyle y=c+\int _{a}^{t}X^{-1}(s)g(s)\,ds\,}$${\displaystyle c\,}$

さて、一般的な解決策は${\displaystyle x=X(t)c+X(t)\int _{a}^{t}X^{-1}(s)g(s)\,ds.\,}$

最初の項は同次解であり、2 番目の項は特殊解です。

グリーン行列を定義する${\displaystyle G_{0}(t,s)={\begin{cases}0&t\leq s\leq b\\X(t)X^{-1}(s)&a\leq s<t.\end{cases}}\,}$

特定の解は次のように書ける。${\displaystyle x_{p}(t)=\int _{a}^{b}G_{0}(t,s)g(s)\,ds.\,}$

• 線形 ODE の不同次システムを解き、グリーン行列を見つける例(www.exampleproblems.com より)。