ガスマンの方程式

ガスマン方程式は、圧力平衡状態の圧縮性流体で飽和した、完全に接続された細孔空間を持つ等方性均質多孔質媒体で構成される集合体の等方性弾性定数を記述する 2 つの方程式のセットです。

フリッツ・ガスマンによってドイツ語で最初に出版された^[1]が、その原著は、標準的な地球物理学の実践で方程式が採用されてからかなり経ってから、英語に翻訳された^[2]。

ガスマン方程式は、流体置換を実行する最も一般的な方法であり、測定されたものとは異なる飽和状態における多孔質媒体の弾性挙動を予測します。

これらの定式化はAvseth et al. (2006)によるものです。^[3]

初期の流体セットを持つ岩石に対応する初期の速度と密度のセット、、、が与えられれば、別の流体セットを持つ岩石の速度と密度を計算できます。これらの速度は、多くの場合、坑井ログから測定されますが、理論モデルから得られる場合もあります。 ${\displaystyle V_{P}^{(1)}}$${\displaystyle V_{S}^{(1)}}$${\displaystyle \rho^{(1)}}$

ステップ1:、、およびから動的体積弾性率とせん断弾性率を抽出します。 ${\displaystyle V_{\mathrm {P} }^{(1)}}$${\displaystyle V_{\mathrm {S} }^{(1)}}$${\displaystyle \rho^{(1)}}$

${\displaystyle K_{\mathrm {sat} }^{(1)}=\rho \left((V_{\mathrm {P} }^{(1)})^{2}-{\frac {4} {3}}(V_{\mathrm {S} }^{(1)})^{2}\right)}$

${\displaystyle \mu _{\mathrm {sat} }^{(1)}=\rho (V_{\mathrm {S} }^{(1)})^{2}}$

ステップ 2:次の形式のガスマンの関係式を適用して、飽和体積弾性係数を変換します。

${\displaystyle {\frac {K_{\mathrm {sat} }^{(2)}}{K_{\mathrm {鉱物} }-K_{\mathrm {sat} }^{(2)}}}-{ \frac {K_{\mathrm {流体} }^{(2)}}{\phi (K_{\mathrm {鉱物} }-K_{\mathrm {流体} }^{(2)})}}={ \frac {K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}{K_{\mathrm {鉱物} }-K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}}-{\frac {K_ {\mathrm {流体} }^{(1)}}{\phi (K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{\mathrm {流体} }^{(1)})}}}$

ここで、およびは流体 1 と流体 2 で飽和した岩石の体積弾性係数、およびは流体自体の体積弾性係数、およびは岩石の多孔度です。 ${\displaystyle K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}$${\displaystyle K_{\mathrm {sat} }^{(2)}}$${\displaystyle K_{\mathrm {流体} }^{(1)}}$${\displaystyle K_{\mathrm {流体} }^{(2)}}$${\displaystyle \phi}$

ステップ 3:せん断弾性率は変更しません (剛性は流体の種類に依存しません)。

${\displaystyle \mu _{\mathrm {sat} }^{(2)}=\mu _{\mathrm {sat} }^{(1)}}$

ステップ 4:流体の変化に合わせて嵩密度を補正します。

${\displaystyle \rho ^{(2)}=\rho ^{(1)}+\phi (\rho _{\mathrm {流体} }^{(2)}-\rho _{\mathrm {流体} }^{(1)})}$

ステップ5:流体置換速度を再計算する

${\displaystyle V_{\mathrm {P} }^{(2)}={\sqrt {\frac {K_{\mathrm {sat} }^{(2)}+{\frac {4}{3}} \mu _{\mathrm {sat} }^{(2)}}{\rho ^{(2)}}}}$

${\displaystyle V_{\mathrm {S} }^{(2)}={\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {sat} }^{(2)}}{\rho ^{(2) }}}}}$

与えられた

${\displaystyle {\frac {K_{\mathrm {sat} }^{(2)}}{K_{\mathrm {鉱物} }-K_{\mathrm {sat} }^{(2)}}}-{ \frac {K_{\mathrm {流体} }^{(2)}}{\phi (K_{\mathrm {鉱物} }-K_{\mathrm {流体} }^{(2)})}}={ \frac {K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}{K_{\mathrm {鉱物} }-K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}}-{\frac {K_ {\mathrm {流体} }^{(1)}}{\phi (K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{\mathrm {流体} }^{(1)})}}}$

させて

${\displaystyle S={\frac {K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}{K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}} }$

そして

${\displaystyle F_{1}={\frac {K_{\mathrm {流体} }^{(1)}}{\phi (K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{\mathrm {流体} }^{ (1)})}}\ \ \ \ F_{2}={\frac {K_{\mathrm {流体} }^{(2)}}{\phi (K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{ \mathrm {流体} }^{(2)})}}}$

それから

${\displaystyle K_{\mathrm {sat} }^{(2)}={\frac {K_{\mathrm {ミネラル} }}{{\frac {1}{S-F_{1}+F_{2} }}+1}}}$

または、拡張

${\displaystyle K_{\mathrm {sat} }^{(2)}={\frac {K_{\mathrm {鉱物} }}{\left[{{\frac {K_{\mathrm {sat} }^{ (1)}}{K_{\mathrm {鉱物} }-K_{\mathrm {土} }^{(1)}}}-{\frac {K_{\mathrm {流体} }^{(1)} }{\phi (K_{\mathrm {鉱物} }-K_{\mathrm {流体} }^{(1)})}}+{\frac {K_{\mathrm {流体} }^{(2)} }{\phi (K_{\mathrm {鉱物} }-K_{\mathrm {流体} }^{(2)})}}}\right]^{-1}+1}}}$

この仮定は、飽和岩石のせん断弾性係数が乾燥岩石のせん断弾性係数と同じであることを意味している^[4] 。 ${\displaystyle \mu _{\mathrm {sat} }=\mu _{\mathrm {dry} }}$

ガスマン流体置換では、多孔度が一定である必要があります。これは、他の条件がすべて同じであれば、異なる飽和流体が岩石の多孔度に影響を与えないという仮定に基づいています。これは、孔内の地球化学的条件の変化によって変化するセメント化や溶解などの続成作用を考慮していません。たとえば、石英セメントは、炭化水素で満たされた孔よりも水で満たされた孔に沈殿する可能性が高くなります (Worden および Morad、2000)。したがって、同じ岩石でも、局所的な水飽和により、場所によって多孔度が異なる場合があります。

ガスマン方程式は、本質的には、多孔質弾性材料に対するビオのより一般的な運動方程式の周波数下限です。地震周波数 (10～100 Hz) では、ガスマン方程式を使用した場合の誤差は無視できる可能性があります。ただし、ロギング周波数 (約 20 kHz) での音響測定で必要なパラメータを制限する場合、この仮定に違反する可能性があります。より優れたオプションは、より計算量の多い、ビオの周波数依存方程式を使用して流体置換効果を計算することです。このプロセスからの出力を地震データと統合する場合は、取得した弾性パラメータも分散効果について補正する必要があります。

ガスマン方程式では、流体と固体の間に化学的な相互作用がないものと仮定しています。