ガーフィールドによるピタゴラスの定理の証明

ガーフィールドによるピタゴラスの定理の証明は、アメリカ合衆国第20代大統領ジェームズ・A・ガーフィールド（1831年11月19日 - 1881年9月19日）が考案したピタゴラスの定理の独創的な証明である。この証明はニューイングランド教育ジャーナル（第3巻第14号、1876年4月1日）に掲載された。 ^{[1] [2]}この証明が発表された当時、ガーフィールドは大統領ではなく、オハイオ州選出の下院議員に過ぎなかった。彼は1881年3月4日に大統領に就任し、1881年9月19日までの短い期間のみその職を務めた。^[3]ガーフィールドは数学に独創的な貢献をした唯一のアメリカ合衆国大統領である。この証明は簡単ではなく、数学の歴史家ウィリアム・ダナムによれば、「ガーフィールドの証明は実に巧妙な証明である」^[4]この証明は、ピタゴラスの定理の370の異なる証明をまとめた『ピタゴラスの命題』の中で231番目の証明として掲載されています。 ^[5]

図では、は で直角を持つ直角三角形です。三角形の辺の長さは です。ピタゴラスの定理によれば となります。 ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle C}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

定理を証明するために、ガーフィールドは を通り に垂直な線を引き、この線上でとなる点を選びました。次に、 から延長線上に垂線を下ろしました。この図から、三角形と が合同であることが容易にわかります。と は両方とも に垂直なので、それらは平行であり、したがって四辺形は台形です。定理は、この台形の面積を 2 つの異なる方法で計算することによって証明されます。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle D}$${\displaystyle BD=BA}$${\displaystyle D}$${\displaystyle DE}$${\displaystyle CB}$${\displaystyle ABC}$${\displaystyle BDE}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle DE}$${\displaystyle CE}$${\displaystyle ACED}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{台形の面積}}ACED&={\text{高さ}}\times {\text{平行辺の平均}}\\&=CE\times {\tfrac {1}{2}}(AC+DE)=(a+b)\times {\tfrac {1}{2}}(a+b)\end{aligned}}}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{台形 ACED の面積&={\text{}}\Delta ACB の面積+{\text{}}\Delta ABD の面積+{\text{}}\Delta BDE の面積\\&={\tfrac {1}{2}}(a\times b)+{\tfrac {1}{2}}(c\times c)+{\tfrac {1}{2}}(a\times b)\end{aligned}}}$

これらから得られるものは

${\displaystyle (a+b)\times {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\tfrac {1}{2}}(a\times b)+{\tfrac {1}{2}}(c\times c)+{\tfrac {1}{2}}(a\times b)}$

これを単純化すると

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$