GPOPS-II

GPOPS-II （「GPOPS 2」と発音）は、hp適応ガウス求積法と疎非線形計画法を用いて連続最適制御問題を解くための汎用MATLABソフトウェアです。GPOPSは「汎用最適制御ソフトウェア」の略で、ローマ数字の「II」は、GPOPS-IIがガウス求積法を用いる同種のソフトウェアとしては2番目であることを示しています。

GPOPS-II ^{[ 3 ]}は、次の数学形式の多段階最適制御問題を解くように設計されています（ここで${\displaystyle P}$（フェーズ数）

${\displaystyle \min J=\phi (\mathbf {e} ^{(1)},\ldots ,\mathbf {e} ^{(P)})}$

動的制約に従う

${\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}^{(p)}(t)=\mathbf {a} ^{(p)}(\mathbf {y} ^{(p)}(t),\mathbf {u} ^{(p)}(t),t,\mathbf {s} ),\quad (p=1,\ldots ,P),}$

イベントの制約

${\displaystyle \mathbf {b} _{\min }\leq \mathbf {b} (\mathbf {e} ^{(1)},\ldots ,\mathbf {e} ^{(P)},\mathbf {s} )\leq \mathbf {b} _{\max },}$

不等式経路制約

${\displaystyle \mathbf {c} _{\min }^{(p)}\leq \mathbf {c} (\mathbf {y} ^{(p)}(t),\mathbf {u} ^{(p)}(t),t,\mathbf {s} )\leq \mathbf {c} _{\max }^{(p)},\quad (p=1,\ldots) 、P)、}$

静的パラメータ制約

${\displaystyle \mathbf {s} _{\min }\leq \mathbf {s} \leq \mathbf {s} _{\max },}$

積分制約

${\displaystyle \mathbf {q} _{\min }^{(p)}\leq \mathbf {q} ^{(p)}\leq \mathbf {q} _{\max }^{(p)},\quad (p=1,\ldots ,P),}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(p)}=\left[\mathbf {y} ^{(p)}(t_{0}^{(p)}),t_{0}^{(p)},\mathbf {y} ^{(p)}(t_{f}^{(p)}),t_{f}^{(p)},\mathbf {q} ^{(p)}\right],\quad (p=1,\ldots ,P),}$

各フェーズの積分は次のように定義される。

${\displaystyle q_{i}^{(p)}=\int _{t_{0}^{(p)}}^{t_{f}^{(p)}}g_{i}^{(p)}(\mathbf {y} ^{(p)}(t),\mathbf {u} ^{(p)}(t),t,\mathbf {s} )dt,\quad (i=1,\ldots ,n_{q}^{(p)},\;p=1,\ldots ,P).}$

イベント制約には、任意のフェーズの開始時および/または終了時の情報を関連付ける関数（静的パラメータと積分の両方を含む関係を含む）を含めることができ、フェーズ自体は必ずしも順次である必要はないことに注意することが重要です。フェーズをリンクするアプローチは、文献でよく知られている定式化に基づいていることに留意してください。^{[ 4 ]}

GPOPS-IIは、${\displaystyle hp}$-適応型ガウス求積法コロケーション。コロケーション点はガウス求積法のノード（この場合はルジャンドル・ガウス・ラドー[LGR]点）です。メッシュは、全時間間隔が${\displaystyle t^{(p)}\in [t_{0}^{(p)},t_{f}^{(p)}]}$各フェーズで分割され、各区間でLGRコロケーションが実行されます。メッシュは、状態を近似するために使用される多項式の次数と$\displaystyle \mathbf {y} ^{(p)}(t)}$また、各メッシュ間隔の幅は間隔ごとに異なることができ、この方法は${\displaystyle hp}$-適応法（ここで「${\displaystyle h}$「」は各メッシュ間隔の幅を指し、「${\displaystyle p}$（各メッシュ区間における多項式の次数を表す）。LGRコロケーション法は参考文献^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}で厳密に開発されているが、${\displaystyle hp}$LGRコロケーション法に基づく適応メッシュ細分化法については、参考文献^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]を参照のこと。}

GPOPS-II の開発は 2007 年に開始されました。ソフトウェアのコード開発名はOptimalPrimeでしたが、ガウス擬スペクトル法を使用してグローバルコロケーションを実装したオリジナルの GPOPS ^{[ 12 ]}の系譜を維持するために、2012 年後半に GPOPS-II に変更されました。GPOPS-II の開発は現在も続いており、オープンソースのアルゴリズム微分パッケージ ADiGator ^{[ 13 ]}や、継続的な開発などの改良が加えられています。${\displaystyle hp}$-最適な制御のための適応型メッシュ細分化手法。

GPOPS-II は、学術界と産業界の両方で世界中で広く使用されています。GPOPS-II が使用された公開された学術研究には、フォーミュラ ワン レース カーのパフォーマンス最適化などのアプリケーションでソフトウェアが使用された文献^[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]、^{低推力軌道遷移の最小時間最適化に}ソフトウェアが使用された文献 [ 17 ]、^{サイクリングにおける人間の}パフォーマンスにソフトウェアが使用された文献 [ 18 ]、ソフト 月面着陸にソフトウェアが使用された文献^{[ 19 ]}、二足歩行ロボットの動きを最適化するためにソフトウェアが使用された文献^{[ 20 ]などがあります。}

• GPOPSII ホームページ
• GPOPS-IIに関する論文がACM Transactions on Mathematical Softwareに掲載されました。
• アニル・V・ラオのウェブサイト