ダンのインデックス

1974 年に Joseph C. Dunn によって導入されたDunn 指数は 、クラスタリング アルゴリズムを評価するための指標です。^{[ 1 ] [ 2 ]}これは、 Davies–Bouldin 指数やSilhouette 指数などを含む妥当性指数のグループの一部であり、結果がクラスタリングされたデータ自体に基づいているという点で内部評価スキームです。他のすべてのこのような指数と同様に、その目的は、コンパクトで、クラスタのメンバー間の分散が小さく、十分に分離されていて、異なるクラスタの平均がクラスタ内の分散と比較して十分に離れているクラスタのセットを特定することです。特定のクラスタの割り当てに対して、より高い Dunn 指数は、より良いクラスタリングを示します。これを使用する欠点の 1 つは、クラスタの数とデータの次元が増加するにつれて計算コストが高くなることです。

2025年に発表された科学論文では、凸型のクラスターを評価する際にダン指数はシルエット係数やデイビス・ボールディン指数よりも情報量が少ない可能性があると主張している^{[ 3 ]}。

クラスターのサイズや直径を定義する方法は数多くあります。クラスター内の最も遠い2点間の距離、クラスター内のデータ点間のすべてのペアワイズ距離の平均、あるいは各データ点からクラスター中心までの距離などが考えられます。これらの定義はそれぞれ、以下の数式で表されます。

C _{i を}ベクトルのクラスターとする。xとyを同じクラスターC _iに割り当てられた任意の 2 つの n 次元特徴ベクトルとする。

${\displaystyle \Delta _{i}={\underset {x,y\in C_{i}}{\text{max}}}d(x,y)}$ これは最大距離を計算する（ダンが提案したバージョン）。

${\displaystyle \Delta _{i}={\dfrac {2}{|C_{i}|(|C_{i}|-1)}}{\underset {x,y\in C_{i},x\neq y}{\sum }}d(x,y)}$ これは、すべてのペア間の平均距離を計算します。

$\displaystyle \Delta _{i}={\dfrac {{\underset {x\in C_{i}}{\sum }}d(x,\mu )}{|C_{i}|}},\mu ={\dfrac {{\underset {x\in C_{i}}{\sum }}x}{|C_{i}|}}}$ すべての点と平均値との距離を計算します。

これはクラスター間距離についても同様であり、最も近い2つのデータ点（Dunnが使用）、各クラスター内の1つ、最も遠い2つのデータ点、または重心間の距離などを使用して同様の定式化を行うことができます。この指標の定義には、そのような定式化がすべて含まれ、このようにして形成された指標のファミリーはDunn型指標と呼ばれます。${\displaystyle \delta (C_{i},C_{j})}$これは、クラスターC _iとC _jの間のクラスター間距離指標です。

上記の表記法を用いると、 m個のクラスターが存在する場合、その集合のダン指数は次のように定義されます。

${\displaystyle {\mathit {DI}}_{m}={\frac {{\underset {1\leqslant i<j\leqslant m}{\text{min}}}\left.\delta (C_{i},C_{j})\right.}{{\underset {1\leqslant k\leqslant m}{\text{max}}}\left.\Delta _{k}\right.}}}$

どこ${\displaystyle \delta (C_{i},C_{j})}$はクラスター間の距離です${\displaystyle C_{i}}$そして${\displaystyle C_{j}}$その間$\displaystyle \Delta _{k}}$これはクラスター内の距離、例えばダンの元の定義に従った場合の1つのクラスター内の最大距離です。

このように定義されるため、DI はセット内のクラスター数mに依存します。クラスター数が事前にわからない場合は、 DI が最大となるmをクラスター数として選択できます。d (x,y)の定義にも柔軟性があり、クラスタリング問題の幾何学に基づいて、マンハッタン距離やユークリッド距離など、よく知られたメトリックを使用できます。この定式化には、クラスターの 1 つが異常な挙動を示し、他のクラスターが密集している場合、分母に平均項ではなく「最大」項が含まれているため、そのクラスターセットの Dunn Index が異常に低くなるという特有の問題があります。これは最悪のケースの指標であり、留意する必要があります。Dunn Index は、MATLAB、R、Apache Mahoutなどのベクトルベースのプログラミング言語ですぐに実装できます。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

• Dunn, JC (1973年9月1日). 「十分に分離されたクラスタと最適なファジー分割」. Journal of Cyber​​netics . 4 (1) (1974年発行): 95–104 . doi : 10.1080/01969727408546059 . ISSN 0022-0280 . 
• パキラ、マレー K.バンジョパディヤイ、サンガミトラ。マウリク、ウジワル (2004)。 「鮮明なクラスターとファジークラスターの妥当性指数」。パターン認識。37 (3): 487–501。書誌コード: 2004PatRe..37..487P。土井：10.1016/j.patcog.2003.06.005。
• Bezdek, JC; Pal, NR (1995). 「一般化Dunn指数を用いたクラスタ検証」. 1995年第2回ニュージーランド国際人工ニューラルネットワークおよびエキスパートシステム二部構成会議議事録. IEEE Xplore. pp. 190–193 . doi : 10.1109/ANNES.1995.499469 . ISBN  0-8186-7174-2. S2CID 7816379 . 
• Chicco, Davide; Campagner, Andrea; Spagnolo, Andrea; Ciucci, Davide; Jurman, Giuseppe (2025). "シルエット係数とDavies-Bouldin指数は、2つの凸クラスタの教師なしクラスタリング内部評価において、Dunn指数、Calinski-Harabasz指数、Shannonエントロピー、およびGap統計量よりも情報量が多い。" . PeerJ Computer Science . 11 (e3309): 1– 49. doi : 10.7717/peerj-cs.3309 . hdl : 10281/582043 .