相関合計

カオス理論では、相関和は相関積分の推定値であり、2つの異なる時点での状態が近い平均確率を反映します。

${\displaystyle C(\varepsilon )={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{\stackrel {i,j=1}{i\neq j}}^{N}\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},}$

ここで、は考慮される状態の数、は閾値距離、はノルム（ユークリッドノルムなど）、 はヘビサイドステップ関数です。時系列のみが利用可能な場合、位相空間は時間遅延埋め込みを使用して再構築できます（Takensの定理を参照）。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \Theta (\cdot )}$

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),}$

ここで、は時系列、は埋め込み次元、は時間遅延です。 ${\displaystyle u(i)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \tau }$

相関の合計は相関次元を推定するために使用されます。

• 再発定量分析

• P. Grassberger および I. Procaccia (1983)。「ストレンジアトラクターのストレンジネスの測定」。Physica . 9D ( 1–2): 189–208。Bibcode : 1983PhyD ....9..189G。doi :10.1016/0167-2789(83)90298-1。