ベータモデル

数学の分野であるモデル理論において、 β-モデル（フランス語の「bon ordre」（整列性）^{[1]に由来）は、「} Xは整列している」という形式のステートメントについて正しいモデルです。この用語は、ω-モデルの概念を強化するために、Mostowski（1959） ^{[2] [3]によって導入されました。-}記述不可能性などの順序数で名前が付けられた集合論的特性の表記法とは対照的に、ここでの文字βは表示目的のみです。 ${\displaystyle \xi}$

β-モデルは、2 次演算のサブシステムの逆数学の研究に登場します。この文脈では、2 次演算のサブシステムの β-モデルは、 M からのパラメータを持つ任意のΣ ₁ ¹式に対して、 が成り立つモデル M です。^{[4] p. 243} 2 次演算の β-モデルはすべて ω-モデルでもあります。モデル内で作業すると、< が整列していることを証明できるため、< はモデルの自然数の整列であることがわかります。^[2]${\displaystyle \phi}$${\displaystyle (\omega ,M,+,\times ,0,1,<)\vDash \phi }$${\displaystyle (\omega ,{\mathcal {P}}(\omega ),+,\times ,0,1,<)\vDash \phi }$

β-モデルには不完全性定理がある。T が二階算術の言語で再帰的に公理化可能な理論である場合、T のモデルが存在する場合、T のモデルが存在する +「T のモデルは存在しない」のようになるのと同様に、T の β-モデルが存在する場合、T の β-モデルが存在する +「T の可算コード化 β-モデルは存在しない」となる。同様の定理が任意の自然数 のβ _n -モデルに対しても成り立つ。^[5]${\displaystyle n\geq 1}$

β-モデルに基づく公理は、2 階算術のサブシステムの強さの自然なより細かい区分を提供し、反射原理を定式化する方法も提供します。たとえば、 に対しては、「すべての [2 階ソートの] に対して、 となる可算な β-モデル M が存在する」というステートメントと同等です。^{[4] p. 253} (可算な ω-モデルは整数の集合によって表され、その充足は帰納的定義によって解析言語で形式化できます。) また、再帰的に Mahlo 宇宙 ( と呼ばれることが多い)の標準的な公理スキーマを使用して KP を拡張する理論^[6]は、理論 Δ と論理的に同等です。${\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}}$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\in M}$${\displaystyle KPM}$¹
₂-CA+BI+(すべての真のΠ¹
₃-式はΔのβモデルによって満たされる¹
₂-CA）。^[7]

さらに、β-モデルとハイパージャンプの関係を証明しています。すべての整数の集合に対して、がハイパージャンプを持つのは、となる可算なβ-モデルが存在するときのみです。^{[4] p. 251}${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X\in M}$

あらゆるβ-理解モデルは、β-モデルではないω-モデルと基本的に同等である。^[8]

βモデルの概念は、2階集合論のモデル（モース・ケリー集合論など）に対して、の所属関係が整基であり、任意の関係 に対して「は整基」であるためには が実際に整基である場合に限る、というモデルとして定義できます。MK の最小推移モデルは存在しませんが、MK の最小 β モデルは存在します。^{[9] pp.17,154--156}${\displaystyle (M,{\mathcal {X}})}$${\displaystyle (M,{\mathcal {X}})}$${\displaystyle R\in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle (M,{\mathcal {X}})\vDash }$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$